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（2023 海淀一模——关联直线）★★★☆
28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点
P m n ( , )
，我们称直线 y＝mx＋n 为点 P 的关联直
线．例如，点
P(2,4)
的关联直线为 y＝2x＋4．
（1）已知点
A(1,2)．
①点 A 的关联直线为__________；
②若⊙O 与点 A 的关联直线相切，则⊙O 的半径为__________；
（2）已知点
C(0,2)
，点
D d( ,0)
．点 M 为直线 CD 上的动点．
①当 d＝2 时，求点 O 到点 M 的关联直线的距离的最大值；
②以
T( 1,1) −为圆心，3 为半径作⊙T．在点 M 运动过程中，当点 M 的关联直线与⊙T
交于 E，F 两点时，EF 的最小值为 4，请直接写出 d 的值．
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吴老师图解
（1）①
y x = + 2
；②
2 .
思路&图解
1）根据定义，点
A
的关联直线为
y x = + 2，
2）如图，
O
与直线
y x = + 2
相切于点
G ，
易求得
2
2
2
OG = = ，
O
的半径为
2 .
（2）①
5 .
分析
如图，
1）易求得直线
CD
的解析式为
y x = − + 2，
2）设点
M
的坐标为
( , 2) a a− + ，根据定义，点
M
的关联直线为
y ax a = − + 2，
3）易知直线
y a x = − + ( 1) 2
过定点
R(1,2) ，
综上，点
M
的关联直线是一条过定点
R
的直线，且该直线会随着点
M
在直线
CD
上的运
动而绕点
R(1,2)
旋转（斜率 a 的值发生了改变），
连接
OR
，易知当关联直线与
OR
垂直时，点
O
到关联直线的距离达到最大值.
思路&图解
如图，由【分析】知
R(1,2)，易求得
OR = 5
，即最大距离为
5 .
x
y
y = x + 2
45°
G
O
x
y
R
D
C
O
M
x
y
H
R
O
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（2）②
2
3
d =−
或
d = 2 .
分析
1】关联直线
本题中
d
的值未知，我们不妨按照①的逻辑先试一试：
1）易求得直线
CD
的解析式为
2
y x 2
d
= − + ，
2）令
2 M a a , 2
d
− +
，则关联直线的解析式为
2
y ax a 2
d
= − + ，
3）关联直线必过点
2
R ,2
d
，只不过点
R
的横坐标会随着
d
值的改变而改变，
综上，也就是说，对于某个
d
的值，点
M
的关联直线会随着点
M
在直线
CD
上的移动而
绕点
2
R ,2
d
旋转…
2】弦的最小值为 4
如图，
T
的半径为 3，
1）过
T
上或
T
外一点作直线，若直线与
T
截得弦
EF
，显然， EF
的最小值接近于 0，不符合题意！
2）过
T
内一点
R
作直线，与
T
截得弦
EF ，易知当
EF TR
时， EF
取到最小值！
提示：弦心距越小，弦越长.
3】综合考虑
如图，点
2
R ,2
d
在直线
y = 2
上，且在半径为 3 的
T
的内部，过点
R
作
TR
的垂线，
交
T
于点
E ， F ，
我们可以假定
EF = 4 ，利用此条件求得点
R
的坐标，从而求得
d
的值！
备注：满足
EF = 4
的弦有 2 条，另一条为图中灰色线段.
F
E
T
R
x
y
y = 2
F
E
T
O
R
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思路&图解
情况 1：
如图，由【分析】知：
1）在
Rt ERT
中，
ET = 3， ER = 2 ，勾股定理得
TR = 5 ，
2）在
Rt HRT
中，
TH =1，勾股定理得
HR = 2 ，且
1 H T x x = = − ，
1 2 1 R
x = − + = ，即
2
1
d
=
，解得
d = 2 .
情况 2：
如图，同理，此时
2
3
d
=−
，解得
2
3
d =− .
综上所述：
2
3
d =−
或
d = 2 .
x
y
H
F
E
T
O
R
x
y
H
F
E
T
O
R
x
y
y = 2
F
E
T
O
R
